年轻的怀疑

当我第一次遇见你
我想那时我还年轻
不知道什么是爱恋
只希望时时刻刻看着你

见不到你时
我只有一件事可做
等你回来
等你说话
等你再看我一眼

秋的思恋

在这个安静的秋晨

Solution of Rudin's Principles of Mathematical Analysis:Chap1. Ex.6

The definition of (real) exponent of $b\in\R$, $b>0$ is give in Rudin's Principles of Mathematical Analysis (3.ed), Chapter 1 Exercise 6 , which says that: 6. Fix $b\geq1$.

1. If $m,n,p,q$ are integers, $n\geq0,q\geq0$, and $r=m/n=p/q$, prove that \[ (b^m)^{1/n}=(b^p)^{1/q}. \] Hence it makes sense to define $b^r=(b^m)^{1/n}$.
2. Prove that $b^{r+s}=b^rb^s$ if $r$ and $s$ are rational.
3. If $x$ is real, define $B(x)$ to be the set of all numbers $b^t$, where $t$ is rational and $t\leq x$. Prove that \[ b^r=\sup B(r) \] when $r$ is rational. Hence it makes sense to define \[ b^x=\sup B(x) \] for every real $x$.
4. Prove that $b^{x+y}=b^xb^y$ for all real $x$ and $y$.

It is a litter hard for beginners to solve this problem, so I will try to post my solution here.

魔方还原(机械)算法初探

首先, 我想说明下题目. 经过3天的不断试验和思考, 我完全实现了二阶魔方的还原的机械算法. 换言之, 你可以一步一步地按照我说的算法还原二阶魔方. 基本想法是这样的, 首先将每个面编号(1,2,...,24), 那么现在任何一个转动都对应着(1,2,...24)的一个置换, 特别地, 我们可以写出6个基本操作的置换表示; 其次, 利用这六个置换表示生成2阶魔方群, 并利用GAP软件建立该群和由6个自由元生成的自由群的同态; 最后通过输入魔方的给定状态(即经过若干转动后得到的魔方)在该自由群下的生成元而得到具体的还原步骤. 下面让我详细叙述之, 并不时插入我陷入的误区. 你会看到还有许多未解决的问题(最短要多少步还原, 如何选取更优的生成元, 如何发现快速公式等), 但是并不是说不能通过我的方法还原.